Задачи от работа и от смеси и сплави в 7 клас: от текста към уравнението

Задачите от работа в 7 клас са три вида: с неизвестно време при дадени количество работа и норма, с неизвестно време при допълнително условие и с дадено време, за което всеки върши работата сам. Задачите от смеси и сплави са два вида: разтвор, към който се добавя вода, и смесване на две сплави (или два разтвора). Моделите са два: работа = норма · време при работата и вещество = процент · маса при смесите. Условието се превръща в чертеж (ленти при работата; при смесите – таблица и смес от две части, вещество и останалото), а уравнението се чете от чертежа. Анимацията към всеки вид по-горе показва това стъпка по стъпка, с числа по избор; „Упражнение“ сглобява уравнението от части, а „Самопроверка“ дава по две задачи за всеки вид.

Моделът при работата: работа = норма · време

Задачите от работа са задачи от движение с други думи. Вместо път има количество работа (детайли, квадратни метри, басейн), вместо скорост – норма или производителност (колко се свършва за ден или за час), а времето си остава време. Връзката е същата: работа = норма · време.

Чертежът също е същият. Работата е лента, а всеки ден е блок от нея: работник, който изработва по 20 детайла на ден в продължение на 6 дни, запълва 6 блока по 20. Уравнението идва от едно от две наблюдения: частите на работата се събират в цялата работа или една и съща работа е свършена по два начина.

Неизвестно време при дадени количество работа и норма

Пример: Работник трябва да изработи 240 детайла. Първите няколко дни той изработва по 20 детайла на ден (нормата), а останалите дни – по 30 детайла на ден. Общо работи 10 дни. Колко дни е изработвал по 20 детайла на ден?

Количеството работа е дадено: 240 детайла, една лента. Неизвестното е времето с нормата: x дни. Тогава дните с по-високия темп са 10 − x. По модела първата част на работата е 20x, втората – 30(10 − x). Двете части заедно са цялата лента:

20x + 30(10 − x) = 240, 300 − 10x = 240, x = 6.

Проверка: 20 · 6 + 30 · 4 = 120 + 120 = 240. Най-простият случай на този вид е без части: 1200 m² улица, по 150 m² на ден, x дни: 150x = 1200, x = 8.

Неизвестно време при допълнително условие

Пример: По план работник трябва да изработва по 20 детайла на ден. Той изработва по 25 детайла на ден и завършва работата 2 дни по-рано. За колко дни е трябвало да завърши работата по план и колко детайла е изработил?

Тук количеството работа не е дадено. Вместо него има допълнително условие: „2 дни по-рано“. То дава втори израз за същата работа. Неизвестното е времето по план: x дни; в действителност работата е свършена за x − 2 дни. Чертежът е две еднакво дълги ленти: горната от x блока по 20, долната от x − 2 по-широки блока по 25. Работата е една, затова:

20x = 25(x − 2), 20x = 25x − 50, x = 10.

По план работата е за 10 дни, а детайлите са 20 · 10 = 200. Проверка: 25 · 8 = 200. Допълнителното условие може да е и друго („ако изработва с 5 детайла повече на ден, ще завърши 2 дни по-рано“), но пътят е същият: два израза за една работа.

Дадено време за работа „сам“

Пример: Първата тръба сама пълни басейн за 6 часа, а втората сама – за 3 часа. За колко часа ще напълнят басейна, ако работят заедно?

Колко вода побира басейнът, не е казано. Не е и нужно: целият басейн е една работа, която се отбелязва с 1. Щом първата тръба пълни целия басейн за 6 часа, за един час тя пълни 1/6 от него; втората пълни 1/3 за час. Неизвестното е общото време: x часа. За x часа първата пълни x/6, а втората – x/3. Двете части заедно са целият басейн:

x/6 + x/3 = 1. След умножение по 6: x + 2x = 6, x = 2.

Проверка: 2/6 + 2/3 = 1/3 + 2/3 = 1. Същият модел важи за двама работници, две машини, двама бояджии. Ако е дадено общото време и времето на единия, търси се времето на другия: за час заедно се свършва 1/4, първият сам – 1/6, затова вторият – 1/4 − 1/6 = 1/12, и сам свършва работата за 12 часа.

Моделът при смесите и сплавите: вещество = процент · маса

Задачите от смеси и сплави имат три величини: масата на сместа, процента на веществото в нея (сол, захар, мед, злато) и количеството на веществото. Връзката е една: вещество = процент · маса. 20 % сол в 300 g разтвор са 0,2 · 300 = 60 g сол.

Условието се подрежда в таблица: всеки съд (разтвор, вода, сплав, сместа) е ред, а колоните са маса, процент и чисто вещество. Първите две колони се попълват от текста, третата е тяхното произведение. Чертежът към таблицата е всяка смес като две части една върху друга: отдолу чистото вещество (сол, мед), отгоре останалото (вода, другият метал). Всички са в един мащаб: колкото е масата, толкова е висока сместа, а процентът се вижда като дял от височината. 20 % сол в 300 g разтвор са долна част от 60 g и горна от 240 g вода. При смесването частите вещество от двата съда се нареждат една върху друга в новия. Уравнението идва от едно наблюдение: при смесване, добавяне на вода или изпаряване количеството на чистото вещество не се променя. Сменят се масата и процентът, а частта „вещество“ остава същата. Уравнението е третата колона: вещество в частите = вещество в сместа.

Разтвор и вода

Пример: Към 300 g разтвор на сол с концентрация 20 % се добавя вода и се получава разтвор с концентрация 15 %. Колко грама вода са добавени?

Таблицата има три реда: разтворът (300 g, 20 %, сол 0,2 · 300 = 60 g), водата (x g, 0 %, сол 0) и новият разтвор (300 + x грама, 15 %, сол 0,15(300 + x)). В съдовете третият е по-висок (водата е повече), но частта „сол“ е колкото в първия; затова тя е по-малък дял от височината: 15 % вместо 20 %. Солта е същата:

0,2 · 300 + 0 = 0,15(300 + x), 60 = 45 + 0,15x, x = 100.

Проверка: 0,15 · 400 = 60 g сол. Изпаряването е същата задача в обратна посока: масата става 300 − x, а солта пак не се променя.

Смесване на две сплави

Пример: Сплав от 400 g съдържа 30 % мед. Колко грама сплав с 60 % мед трябва да се добавят към нея, за да се получи сплав с 40 % мед?

В таблицата: първата сплав (400 g, 30 %, мед 0,3 · 400), втората (x g, 60 %, мед 0,6x), новата (400 + x грама, 40 %, мед 0,4(400 + x)). На чертежа медта от двете сплави (две части в различен нюанс) се нарежда една върху друга в новия слитък, а другият метал – отгоре. Медта не изчезва и не се появява:

0,3 · 400 + 0,6x = 0,4(400 + x), 120 + 0,6x = 160 + 0,4x, 0,2x = 40, x = 200.

Проверка: 120 + 120 = 240 g мед, а това е 40 % от 600 g. Процентът на сместа винаги е между процентите на частите и е по-близо до частта, която е повече: 40 % е между 30 % и 60 %, по-близо до 30 %, защото първата сплав (400 g) е двойно повече от втората (200 g). Ако уравнението даде процент извън частите, в него има грешка.

Типичните грешки и откъде идват

Времената се събират. При работа „сам“ отговорът на примера не е 6 + 3 = 9 часа, нито (6 + 3) : 2. Двете тръби заедно пълнят по-бързо от всяка сама, затова общото време е по-малко от 3 часа.

Дните при допълнителното условие. „2 дни по-рано“ означава x − 2 дни, не x + 2. Разменената посока дава отрицателен отговор или отговор, който не минава проверката.

Нормата не се умножава по всички дни. 25(x − 2), а не 25x − 2: всеки от дните е по 25 детайла.

Процентът на новата смес се отнася за старата маса. В задачата с водата 0,15 · 300 е сол в 300 g, но новият разтвор тежи 300 + x грама. Правилно: 0,15(300 + x).

Процентите се събират. 30 % мед и 60 % мед не дават 90 % и не дават 45 %, ако масите са различни. Процентите се претеглят с масите, затова уравнението е за веществото, не за процентите.

Общото при петте грешки е едно: уравнението е написано по спомен, без чертеж. На лентата се вижда, че дните при по-бързата работа трябва да са по-малко, а в таблицата и на чертежа със смесите – че частта „чисто вещество“ не се променя. Затова моделите не се учат наизуст, а се откриват: тогава се припомнят по-лесно, защото стъпките са вече извървени.

Къде се срещат: 7 клас, НВО и след това

В 7 клас задачите от работа и от смеси и сплави се решават с уравнения, след темата за линейните уравнения; процентите и дробите, на които стъпват, са от 5 и 6 клас. Във втория модул на националното външно оценяване по математика в 7 клас втората задача е текстова: тук изпитът проверява способността за работа с модели. Типовете задачи са три: „движение“, „работа“ и „смеси и сплави“. Повечето школи подготвят по първите два. През 2026 г. изпитът включваше задача за „смеси и сплави“, а средният резултат за страната падна с над 4 точки. Как е устроен изпитът е описано в статията за формата на НВО в 7 клас, а задачите от движение – в статията задачи от движение в 7 клас. Кой тип се е падал през коя година показва анализът на втория модул (2010–2026): задача за смеси и сплави се появява за първи път точно през 2026 г. Уменията зад текстовата задача са в картата на уменията на Заная.

Най-трудното в текстовата задача не е уравнението, а съставянето му. При непозната формулировка ученик, който е учил типа, а не модела, се губи. Ученик, който вижда лентата или таблицата с чистото вещество, съставя уравнението и при нова формулировка.

В Заная текстовите задачи са част от подготовката за НВО в 7 клас, присъствено в София, Пловдив, Варна, Бургас, Русе и Благоевград или онлайн. Новият материал следва програмата на класа. Персонални са преговорът и самостоятелната работа: платформата подбира задачите според пропуските на всяко дете. Програмите и цените са еднакви във всички градове и онлайн.

Как се проверява дали моделът е разбран

Две задачи са достатъчни, за да се види дали моделът е усвоен или е „наполовина“.

Първата: един работник боядисва ограда сам за 4 часа, а друг – сам за 12 часа. За колко часа ще я боядисат заедно? Верният отговор е 3 часа (x/4 + x/12 = 1). Отговор „8 часа“ или „16 часа“ означава, че времената са събрани или усреднени, без модела „цялата работа е 1“.

Втората: към 200 g разтвор със захар с концентрация 25 % се добавят 50 g вода. Каква е новата концентрация? Верният отговор е 20 % (50 g захар в 250 g разтвор). Ако ученикът не може да каже колко грама захар има преди и след добавянето, процентите не са свързани с масата.

Ако ученикът се затруднява с дробите или процентите, стъпката назад е към тях, към 5 и 6 клас: първо се намира последното умение, което той владее сигурно, после се работи само върху следващото, на малки стъпки (както е описано в статията „Детето ми не разбира математика“). Ако искате да видите къде точно са пропуските: направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

Въпроси и отговори

Как се решават задачи от съвместна работа?

Цялата работа се отбелязва с 1. Ако някой свършва работата сам за t часа, за един час той свършва 1/t от нея. За x часа заедно двамата свършват x/t₁ + x/t₂, а това е цялата работа: x/t₁ + x/t₂ = 1.

Какво е норма в задачите от работа?

Нормата (производителността) е количеството работа за единица време: детайли на ден, квадратни метри на час. Тя играе ролята на скоростта в задачите от движение: работа = норма · време.

Как се пресмята концентрация?

Концентрацията е процентът на веществото в сместа: вещество : маса · 100 %. 50 g захар в 250 g разтвор са 50 : 250 = 0,2, тоест 20 %.

Защо при смесване процентите не се събират?

Защото процентът е част от масата, а масите са различни. Събират се количествата вещество: 120 g мед и 120 g мед са 240 g мед в 600 g сплав, тоест 40 %, а не 30 % + 60 %.