Задачи от движение в 7 клас: как пет реда текст стават две отсечки

Задачите от движение в 7 клас са четири вида: движение един срещу друг, движение един след друг, общи задачи (едно разстояние, изминато по два начина) и движение по река. И четирите се решават с един модел: път = скорост · време. Условието, колкото и дълго да е, се превръща в чертеж с отсечки, а уравнението се чете направо от чертежа. Анимацията към всеки вид по-горе показва точно това стъпка по стъпка, с числа по избор; „Упражнение“ сглобява уравнението от части, а „Самопроверка“ дава по две задачи за всеки вид.

Моделът: път = скорост · време

Всяка задача от движение има три величини: път (s), скорост (v) и време (t). Връзката между тях е една: s = v · t. Ако две от величините са известни, третата се намира; ако една е неизвестна, тя е x.

Моделът се вижда най-добре на чертеж. Пътят е отсечка. Кола, която се движи 3 часа с 60 km/h, изминава отсечка от три равни части по 60 km. Затова текстът се чете с въпроса „коя отсечка изминава всеки и за колко време?“, а не „коя формула да се приложи?“. Сложните текстови задачи с по пет реда текст се свеждат до събиране на отсечки, материал от 2 клас, ако се разбира същината на задачата.

Уравнението идва от едно от три наблюдения за отсечките:

• две отсечки заедно дават трета (движение един срещу друг, един след друг);
• две отсечки са равни, защото са едно и също разстояние (общи задачи, движение по река);
• частите на пътя се събират в целия път (път, изминат на части).

Движение един срещу друг

Пример: Мотор тръгва от град A към град B със скорост 40 km/h. Един час по-късно от B към A тръгва кола със скорост 60 km/h. Разстоянието между двата града е 240 km. След колко часа от тръгването на колата двете превозни средства ще се срещнат?

Чертежът е една отсечка AB с точка на срещата C. Отсечката AC изминава моторът, отсечката CB – колата. Неизвестното е времето на колата: x часа. Моторът е тръгнал час по-рано, затова пътува x + 1 часа. По модела AC = 40(x + 1), а CB = 60x. Двете отсечки заедно дават AB:

40(x + 1) + 60x = 240, 100x = 200, x = 2.

Срещат се 2 часа след тръгването на колата. Проверка: моторът е изминал 40 · 3 = 120 km, колата 60 · 2 = 120 km, общо 240 km.

Ако двамата тръгват едновременно, времената са еднакви и уравнението е по-кратко: v₁x + v₂x = AB. Затова в тази задача често се казва, че „скоростите се събират“: за един час разстоянието между двамата намалява с v₁ + v₂.

Движение един след друг

Движение един след друг (догонване) има два варианта. Моделът е един: по-бързият изминава и пътя на по-бавния, и разстоянието между тях.

Тръгват едновременно от различни места. Кола тръгва от град A със скорост 70 km/h. В същия момент от град B, който е на 60 km пред A по същия път, в същата посока тръгва камион със скорост 50 km/h. След колко часа колата ще настигне камиона? Колата настига камиона в точка C. Горната отсечка AC изминава колата, долната BC – камионът. Отдолу AB и BC заедно са колкото AC отгоре:

60 + 50x = 70x, 20x = 60, x = 3.

Тръгват от едно място, по различно време. Пешеходец тръгва от A със скорост 5 km/h, а два часа по-късно от A в същата посока тръгва велосипедист със скорост 15 km/h. До срещата двамата изминават една и съща отсечка, но за различно време: 5(x + 2) = 15x, x = 1.

И в двата варианта скоростите не се събират: двамата се движат в една посока, затова разстоянието между тях намалява с разликата на скоростите.

Общи задачи от движение

Общите задачи от движение са задачите, в които едно и също разстояние е изминато по два начина: с различна скорост, за различно време, отиване и връщане.

Пример: Кола изминава разстоянието от A до B за 3 часа. Ако се движи с 20 km/h по-бързо, ще го измине за 2 часа. Каква е скоростта на колата и колко е разстоянието AB?

Чертежът е две еднакво дълги ленти. Горната е от 3 блока (по един за всеки час) със скорост x, долната – от 2 по-широки блока със скорост x + 20. Двете ленти са едно и също разстояние AB, затова изразите за тях са равни:

3x = 2(x + 20), x = 40, AB = 3 · 40 = 120 km.

Същият вид са задачите с път, изминат на части: турист изминава 30 km, част от пътя пеша с 5 km/h и останалата част с колело с 15 km/h, общо за 4 часа. Ако пеша е вървял x часа, с колелото е карал 4 − x часа, а частите на пътя се събират: 5x + 15(4 − x) = 30, x = 3.

Движение по река

Пример: Моторна лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението на реката за 2 часа, а обратно, срещу течението, за 3 часа. Скоростта на течението е 2 km/h. Каква е собствената скорост на лодката?

Собствената скорост на лодката е x (скоростта в неподвижна вода). По течението реката добавя своята скорост: x + 2. Срещу течението я отнема: x − 2. Оттук нататък задачата е обща задача от движение: едно разстояние, изминато по два начина.

2(x + 2) = 3(x − 2), 2x + 4 = 3x − 6, x = 10.

Проверка: 2 · 12 = 24 km и 3 · 8 = 24 km. Задачите по река изглеждат като отделен вид, но новото в тях е само как се получават двете скорости.

Типичните грешки и откъде идват

Еднакво време при различно тръгване. Ако колата тръгва час по-късно, моторът пътува x + 1 часа, не x. Грешката 40x + 60x = 240 дава x = 2,4 и отговор, който не минава проверката.

Сбор на скоростите при движение в една посока. При догонване 70x + 50x = 60 няма смисъл: разстоянието между колата и камиона намалява с 70 − 50 = 20 km всеки час, не със 120.

Скобите при по-голямата скорост. В общата задача по-бързата скорост е x + 20 и се умножава по цялото време: 2(x + 20) = 2x + 40, а не 2x + 20.

Знакът на течението. По течението скоростта е x + течението, срещу течението – x − течението. Разменените знаци дават уравнение, което няма смисъл.

Мерните единици. Скорост в km/h се умножава по време в часове. 30 минути са 0,5 h, не 30.

Общото при петте грешки е едно: уравнението е написано по спомен от „подобна задача“, без чертеж. На чертежа всяка от тях се вижда: отсечката не е с дължината, която трябва, или лентите не са равни. Затова моделите не се учат наизуст, а се откриват: тогава се припомнят по-лесно, защото стъпките са вече извървени.

Къде се срещат: 7 клас, НВО и след това

Задачи от движение има и в 5 и 6 клас, където се решават аритметично; в 7 клас се решават с уравнения, след темата за линейните уравнения. Във втория модул на националното външно оценяване по математика в 7 клас втората задача е текстова: тук изпитът проверява способността за работа с модели. Типовете задачи са три: „движение“, „работа“ и „смеси и сплави“. Как е устроен изпитът и къде седмокласниците губят най-много точки е описано в статията за формата на НВО в 7 клас, а уравненията, до които се стига, са техниката от 10-те умения за първия модул. Задачите от работа и от смеси и сплави следват същия път от текста към чертежа и уравнението: задачи от работа и от смеси и сплави. Кой тип се е падал през коя година показва анализът на втория модул (2010–2026), а уменията зад текстовата задача са в картата на уменията на Заная.

Най-трудното в текстовата задача не е уравнението, а съставянето му. Това изисква не само техника, а и умение задачата да бъде опростена до елементите, от които е изградена. Точките от тази задача се печелят най-бързо, но не задължително най-лесно.

В Заная текстовите задачи са част от подготовката за НВО в 7 клас, присъствено в София, Пловдив, Варна, Бургас, Русе и Благоевград или онлайн. Новият материал следва програмата на класа. Персонални са преговорът и самостоятелната работа: платформата подбира задачите според пропуските на всяко дете. Програмите и цените са еднакви във всички градове и онлайн.

Как се проверява дали моделът е разбран

Две задачи са достатъчни, за да се види дали моделът е усвоен или е „наполовина“.

Първата: от два града на 360 km един от друг тръгват едновременно един срещу друг кола с 70 km/h и камион с 50 km/h. След колко часа ще се срещнат? Верният отговор е 3 часа (70x + 50x = 360). Ако ученикът не може да начертае отсечките и да каже коя кой изминава, моделът не е усвоен, дори отговорът да е верен.

Втората: същите кола и камион тръгват в една посока, камионът е 60 km напред. След колко часа колата ще го настигне? Верният отговор е 3 часа (60 + 50x = 70x). Отговор „0,5 часа“ (70x + 50x = 60) означава, че е запомнено „скоростите се събират“ без модела зад него.

Ако ученикът се затруднява и с уравненията, стъпката назад е към линейните уравнения и към отрицателните числа от 6 клас: първо се намира последното умение, което той владее сигурно, после се работи само върху следващото, на малки стъпки (както е описано в статията „Детето ми не разбира математика“). Ако искате да видите къде точно са пропуските: направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

Въпроси и отговори

Каква е формулата за скорост, път и време?

s = v · t: пътят е скоростта, умножена по времето. Оттук v = s : t и t = s : v. В задачите от движение формулата се прилага към всяка отсечка поотделно, а уравнението идва от чертежа: кои отсечки се събират или кои са равни.

Кога скоростите се събират и кога се изваждат?

При движение един срещу друг разстоянието между двамата намалява със сбора на скоростите. При движение в една посока то намалява с разликата им. По река собствената скорост и скоростта на течението се събират по течението и се изваждат срещу течението.

Как се избира неизвестното?

Най-често x е величината, която се пита. Когато двама тръгват по различно време, по-удобно е x да е времето на тръгналия по-късно: тогава другото време е x плюс разликата, без изваждане.

Трябва ли да има чертеж?

В изпитната работа се оценява решението, но чертежът е начинът уравнението да се състави вярно. Анимациите по-горе показват как всеки вид задача става чертеж; в „Упражнение“ уравнението се сглобява от части, включително от частите, които се получават при типичните грешки.