Вторият модул на НВО по математика в 7 клас: какво се падаше в 16 изпита (2010–2026)

16 изпита, 60 задачи с пълно решение, разбити по вид, тема и умения.

Разгледахме втория модул на 16 изпита от националното външно оценяване по математика за 7 клас между 2010 и 2026 г.: 60 задачи, които всяка година носят 35 от 100-те точки. От 2020 г. модулът има една и съща форма, три задачи – алгебрична, текстова и геометрична, и в тях се повтарят едни и същи неща. Ето какво се падаше, година по година, кое се повтаря и какво може да направите с това у дома.

Модулът в числа

Форматът на модула се смени три пъти. През 2010 и 2011 г. той имаше пет задачи: три с кратък отговор и две с пълно решение. От 2012 до 2019 г. задачите бяха четири или пет, а една или две от тях бяха практически задачи с данни: диаграма от анкета, мащаб на карта, обмен на валута, координатна система, сгънат лист хартия. Те носеха между 7 и 15 от 35-те точки. От 2020 г. практическите задачи ги няма, а модулът е три задачи с пълно решение: алгебрична (12 точки), текстова (11 или 12) и геометрична (11 или 12). Изпитът през 2026 г. има същата форма, само номерата са 22, 23 и 24, защото първият модул стана с една задача повече.

Ето трите задачи в седемте изпита с днешния формат:

Всичките 60 задачи от 2010 г. насам, с точките, темата, какво се иска и уменията, са в CSV файла за сваляне.

Какво съдържа всяка от трите задачи, изпит по изпит: едно квадратче е един изпит, запълнено квадратче означава, че признакът го има в този изпит, а числото вдясно е в колко изпита се среща.

Алгебричната задача

Текстовата задача

Геометричната задача

Как измервахме

Данни. Изследването обхваща 16 изпита от националното външно оценяване по математика за 7 клас, проведени между 2010 и 2026 г. Източник са тестовете и ключовете с верните отговори и критериите за оценяване, публикувани от МОН след всеки изпит. Изпитът от 2015 г. не е включен. Петнайсет от изпитите са в базата на Заная, където всеки отговор е пресметнат наново и сверен с ключа; изпитът от 2026 г. е разгледан по ключа на МОН от 19 юни 2026 г. Разгледан е вторият модул: задачи 21–24 (през 2019 г. 21–25, през 2010 и 2011 г. 26–30, през 2026 г. 22–24). Извадката е 60 задачи.

Метод. Всяка задача е отнесена към един от четири вида според това, което проверява: алгебрична (уравнения, неравенства, многочлени), текстова (задача, която се решава с уравнение по текст), геометрична (фигура, чертеж, теореми) и практическа задача с данни (диаграма, таблица, мащаб, валута, координати). За текстовите задачи са записани типът (движение, работа, смеси и сплави или без типов модел) и уменията, които решението използва: уравнение по текст, път = скорост · време, проценти, части от цяло, пропорция и други. За геометричните са записани фигурата и теоремите, които примерното решение на МОН използва, и дали задачата има подточка „Докажете“. Подточките от изпитите между 2010 и 2025 г. са съотнесени и към картата на уменията на Заная, така, както бяха задачите от първия модул в проучването за десетте умения.

Измерване. Точките са по колоната „брой точки“ в ключовете на МОН. Вторият модул носи 35 точки във всеки от 16-те изпита, общо 560. За всеки вид задача са събрани точките по години; за всеки вид текстова задача, фигура и теорема е преброено в колко изпита се среща. При задача 24 от 2017 г. критериите в ключа дават 10 точки и те са използвани.

Обхват. Анализът е ограничен до втория модул. Първият модул, 65 от 100-те точки, е разгледан в проучването за десетте умения; там задачите 26–28 от 2010 и 2011 г., които са с кратък отговор, бяха броени към първия модул, а тук са във втория, както са в изпита. Форматът се определя от МОН и може да се промени, както се случи миналата година.

Данните са достъпни за сваляне: CSV файл. При използване на данните посочете източника: Заная – Математическа Академия, zanayamath.com.

Трите задачи, една по една

1. Алгебричната задача: техника, която се проверява по един и същ начин

Какво иска изпитът. Три или четири подточки върху уравнения, неравенства и многочлени: да се реши неравенство и да се запишат решенията с интервал или върху числовата ос, да се разложи многочлен на множители и да се намерят корените му, да се реши уравнение с модул, да се пресметне число, записано със степени. От 2020 г. задачата носи 12 точки всяка година.

Кое се повтаря (графиката за алгебричната задача по-горе). Формулите за съкратено умножение участват в преобразуванията в 12 от 15-те алгебрични задачи. Неравенство има в 10 от 15-те, а от 2020 г. – в 6 от 7. Квадратно уравнение, което се решава чрез разлагане на множители, има в 5 от 7-те изпита от 2020 г. насам. Уравнение с модул – в 4 изпита (2013, 2020, 2022, 2023). И една подточка, която се появи през 2019 г. и оттогава е в 6 от 8 изпита: след като ученикът е решил уравнението и неравенството, изпитът пита кои от корените на уравнението са решения и на неравенството. Това не е нова техника, а проверка дали ученикът разбира какво е решил.

Какво се промени. До 2018 г. в 4 изпита имаше уравнение с параметър („за кои стойности на a…“). От 2019 г. насам такова няма. На негово място дойдоха разлагането и проверката на корените.

Къде се губят точките. По думите на Симеон Гачев от статията за формата на изпита: това са най-лесните точки, защото задачата е само техника, а най-типичната грешка са минусите – пренасяне без смяна на знака и грешно разкриване на скоби. Уменията, които задачата проверява, са четири от десетте в проучването за първия модул: решаването на линейни уравнения, неравенствата, разлагането на многочлени и формулите за съкратено умножение. Разликата е, че тук те трябва да са записани като пълно решение, стъпка по стъпка, а не само като отговор.

2. Текстовата задача: три типа и уменията зад тях

Какво иска изпитът. Текст от пет-шест реда, от който ученикът трябва да състави уравнение, да го реши и да отговори на два или три въпроса. Носи 11 или 12 точки.

Кое се повтаря (графиката за текстовата задача по-горе). Типовите задачи са три: „движение“, „работа“ и „смеси и сплави“. В 9 от 13-те текстови задачи изпитът дава една от тях. Движение – в 5 изпита (2010, 2011, 2019, 2022, 2025): задминаване, настигане, среща, едно разстояние по два начина. Работа – в 3 (2016, 2023, 2024): майстор и чирак, две бригади, планирано и реално. Смеси и сплави – в 1 (2026). Другите четири задачи (2012, 2017, 2020, 2021) са без типов модел: хонорар, разделен на части, отсъстващи ученици в проценти, разход на гориво като пропорция, производство на торти по диаграма. В три изпита (2013, 2014, 2018) текстова задача с пълно решение нямаше: на нейно място бяха практическите задачи с данни. Под типовете стоят няколко умения, които се повтарят независимо от типа: съставяне и решаване на уравнение по текст – във всичките 13 задачи; проценти – в 5; части от цяло и отношения – в 4; пропорция за разход на гориво на 100 km – в 3 (2020, 2022, 2025), обикновено като последен въпрос към задача за движение; превръщане на минути в част от час и час на пристигане – в 6.

Какво се промени. „Смеси и сплави“ се появи за първи път през 2026 г.: в 15-те предишни изпита такава задача няма. Задачата беше за злато в карати – каква част от сплавта е чисто злато, колко карата е смес от две сплави, колко сребро трябва да се добави. Средният резултат на изпита падна от 42,74 на 38,45 точки. Не можем да кажем каква част от спада е от тази задача, но можем да кажем защо тя изненадва: повечето школи и учебни помагала тренират движение и работа, защото те са се падали най-често. По умения обаче задачата не е нова: част от цяло и уравнение по текст – същите умения, които носят и задачата с хонорара от 2012 г.

Къде се губят точките. Не в пресмятанията, а преди тях: в чертежа или таблицата, от които се чете уравнението. Ученик, който е учил видовете като рецепти („при движение – път = скорост · време“), спира пред всяка формулировка, която не е виждал. Как текстът става чертеж и уравнение при всеки вид, е показано с анимации в статиите за задачите от движение и за задачите от работа и от смеси и сплави. За задачите с проценти и части от цяло стъпката назад е умение 9 от първия модул и дробите от 5 клас.

3. Геометричната задача: ъглите първо, доказателството после

Какво иска изпитът. Една фигура – най-често триъгълник, зададен чрез отношение на ъглите му, а в 7 от 15-те изпита в задачата има и правоъгълник, успоредник или ромб – и три или четири подточки: да се намерят ъгли, да се докаже, че два триъгълника са еднакви или че две отсечки са равни, да се намери периметър, отношение или лице. Носи 11 или 12 точки. През 2012 г. геометрична задача с пълно решение нямаше; във всички останали 15 изпита има.

Кое се повтаря (графиката за геометричната задача по-горе). Равнобедрен или равностранен триъгълник има в 14 от 15-те геометрични задачи. Еднакви триъгълници: в 12 от 15 решението минава през признак за еднаквост. Правоъгълен триъгълник: катетът срещу ъгъл от 30° и медианата към хипотенузата носят подточка в 8 изпита. Ъглополовяща – в 6, симетрала – в 2, лица – в 6. И едно улеснение: в 7 изпита, включително всеки от 2020 до 2025 г., първата подточка е „намерете ъглите на триъгълника“ – сборът на ъглите и едно уравнение, тоест точки, които се печелят преди доказателството.

Какво се промени. Доказателството. Подточка „Докажете“ има в 9 от 15-те геометрични задачи, а от 2019 г. насам – в 6 от 8 изпита. Тежестта му расте: през 2016 г. доказателството носеше 4 от 12 точки, през 2022 г. – 4 от 11, през 2023 г. – 9 от 12. През 2026 г. и четирите подточки започват с „Докажете“: еднакви триъгълници, равни отсечки, равенство на лица, отношение на отсечки. Подточка „намерете ъглите“ през 2026 г. нямаше.

Къде се губят точките. По думите на министъра на образованието след изпита през 2024 г., над 60 % от учениците са работили по втория модул, с текстовата задача се е справил всеки трети, а с геометричната – всеки пети. Причината я казва Симеон Гачев в статията за формата: теоремите трябва да са автоматизирани. Симетралата, дадена в триъгълника, всеки я разпознава; „пресечната точка на симетралите, свързана с връх“ се разпознава само при утвърдено знание. Всички теореми от 7 клас, с анимация за всяка и упражнение „ако…, то…“, са в статията за теоремите по геометрия; трите геометрични умения от първия модул са в проучването за десетте умения.

Какво показват числата

Три неща.

Форматът е стабилен и 2026 г. го потвърждава. Седем поредни изпита с три задачи и 35 точки, разделени почти по равно: 11 или 12 на задача. Геометричната задача е винаги последна; алгебричната и текстовата си разменят местата (през 2021 и 2022 г. текстовата беше първа). Промениха се номерата, не задачите. Затова подготовката за втория модул може да е подготовка за три конкретни неща, а не за „трудната част“.

Уменията са същите като в първия модул. От 126-те подточки на втория модул в изпитите от 2010 до 2025 г. 98 са свързани с поне едно от десетте умения от проучването за първия модул: линейните уравнения и неравенства, разлагането, формулите, ъглите в триъгълник, равнобедреният триъгълник, текстовите задачи. Вторият модул добавя малко умения, които първият не проверява толкова често: еднаквите триъгълници, правоъгълния триъгълник с ъгъл 30° и медианата към хипотенузата, успоредника, пропорциите. Разликата не е в материала, а в две други неща: уменията трябва да са автоматизирани и решението трябва да е записано.

Доказателството е там, където се губят точките, а старите изпити не са в днешния формат. В 2026 г. цялата геометрична задача е доказателство. Ученик, който може да пресметне ъглите, но не може да запише защо два триъгълника са еднакви, взима точки от алгебричната и от текстовата задача, а от геометричната – малко. И второ, за тези, които тренират със стари изпити: задачи 21 и 22 от 2012 до 2019 г. (диаграми, мащаб, валута, координати) ги няма от 2020 г. От тези години си струват само задачите с пълно решение – 23 и 24, а от 2010 и 2011 г. – 29 и 30.

Какво може да направите още от тази седмица

1. Един втори модул при изпитни условия. Вземете изпит от 2020 г. нататък от сайта на МОН, само трите задачи, 90 минути, без помощ. После проверете по ключа с критериите: те дават точки за всяка стъпка, не само за отговора.
2. Гледайте записа, не само отговора. При текстовата задача: има ли чертеж или таблица и може ли детето ви да покаже на него всеки член на уравнението. При геометричната: към всяко твърдение има ли причина – коя теорема, кой признак. Верен отговор без записана причина на изпита носи част от точките.
3. Стъпка назад, когато не върви. Понякога трябва да се направи една стъпка назад, за да се направят две напред. Разгледайте задачата, с която детето се затруднява, и я разглобете на умения. Намерете последното, което то решава спокойно. Работете само върху следващото, на малки стъпки, докато не бъде овладяно сигурно. За алгебричната задача стъпката назад е в десетте умения от първия модул, за текстовата – в статиите за движението и за работата и смесите, за геометричната – в теоремите.

Така работим и ние в подготовка за НВО 7. клас: целият изпит, разбит на умения, така че виждате кое е усвоено и кое – не.

Ако искате да видите къде точно са пропуските, направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

А ако нямате време да минете през трите задачи сами, можем да го направим ние. Запишете детето си на 2 седмици безплатно обучение в Заная: преподавателят работи с него върху задачите от втория модул.

Въпроси и отговори

Струва ли си да се работи върху втория модул, ако детето губи точки и в първия?

Първият модул е първи: той носи 65 точки и проверява същите умения в по-достъпен вид. Но двата модула не са различен материал. Уравнението, текстовата задача и геометрията от втория модул стъпват върху десетте умения от първия, така че работата върху уменията е работа и за двата. Разликата е, че във втория модул решението трябва да бъде записано. По думите на Симеон Гачев в статията за формата: от геометричната задача могат да се спечелят и най-трудните точки от изпита, но както са най-трудни за печелене, така за тях конкуренцията е най-малка.

Ще има ли пак „смеси и сплави“?

Никой не знае предварително коя текстова задача ще се падне, а МОН не обявява вида предварително. Типовите задачи са три и всяка може да се повтори, а четири от 13-те задачи досега бяха без типов модел: проценти, части от цяло, пропорция. Затова подготовката е за модела, а не за вида: ученик, който може да превърне текста в чертеж или таблица и оттам в уравнение, решава и вид, който не е виждал. Как става това при всеки вид, е показано в статиите за задачите от движение и за задачите от работа и от смеси и сплави.

Кои стари изпити да решава детето ми?

От 2020 г. нататък – целия втори модул, той е в днешния формат. От 2012 до 2019 г. – само задачите с пълно решение (23 и 24, през 2019 г. 23–25); задачите с диаграми, мащаб и валута от онези години не се падат от 2020 г. От 2010 и 2011 г. – задачи 29 и 30. Всички изпити с ключовете са на сайта на МОН.

Колко точки носи доказателството в геометричната задача?

Различно по години: 4 от 12 през 2016 г., 4 от 11 през 2022 г., 9 от 12 през 2023 г., 12 от 12 през 2026 г. От 2020 до 2025 г. първата подточка беше „намерете ъглите на триъгълника“ – точки, които се печелят и без доказателство. През 2026 г. такава подточка нямаше. Затова доказателството не може да се остави „за накрая“: всички теореми от 7 клас, с това откъде идва всяка, са в статията за теоремите.