Теоремите по геометрия в 7 клас: всички теореми, откъде идват и как се прилагат

В 7 клас се изучават 23 теореми по геометрия, в седем теми: ъгли и успоредни прави, ъгли в триъгълник, еднакви триъгълници, правоъгълен триъгълник, неравенства в триъгълника, успоредник и видовете успоредници. Почти всички се доказват с по-ранните: сборът на ъглите в триъгълник – със свойствата на успоредните прави, свойствата на равнобедрения триъгълник – с признаците за еднаквост, свойствата на успоредника – пак с тях. Анимацията към всяка теорема по-горе показва защо тя е вярна и как се проверява с други числа, „Упражнение“ служи за формулировките (условие и заключение), „Самопроверка“ – за прилагането, а PDF-ът събира всички теореми на четири страници.

Всички теореми по теми

Съседни и противоположни ъгли, успоредни прави

Съседни ъгли. Сборът на два съседни ъгъла е 180°. Използва се, когато от един ъгъл при права трябва да се намери другият: при 60° другият е 120°.

Противоположни ъгли. Противоположните ъгли са равни. При две пресичащи се прави четирите ъгъла са две двойки: два равни ъгъла и други два равни ъгъла, а всеки ъгъл от първата двойка и всеки от втората имат сбор 180°.

Признаци за успоредност на две прави. Ако две прави, пресечени с трета, образуват равни кръстни ъгли, или равни съответни ъгли, или прилежащи ъгли със сбор 180°, то двете прави са успоредни. Използват се, когато успоредността трябва да се докаже.

Свойства на успоредните прави. Ако две успоредни прави са пресечени с трета, то кръстните ъгли са равни, съответните ъгли са равни, а прилежащите ъгли имат сбор 180°. Използват се, когато успоредността е дадена: всички осем ъгъла са равни на единия от два ъгъла, чийто сбор е 180° (например 62° и 118°).

Сбор на ъглите в триъгълник и външен ъгъл

Сбор на ъглите в триъгълник. Сборът на ъглите във всеки триъгълник е 180°. Затова в триъгълник има най-много един тъп или прав ъгъл.

Външен ъгъл на триъгълник. Външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него. При ∠A = 50° и ∠B = 60° външният ъгъл при C е 110°, без да се пресмята ∠C.

Признаци за еднаквост на триъгълници

Първи признак. Ако две страни и ъгълът между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Втори признак. Ако една страна и двата ъгъла, прилежащи на нея, от един триъгълник са съответно равни на една страна и двата ъгъла, прилежащи на нея, от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Трети признак. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Признаците за еднаквост на триъгълници са инструментът, с който се доказват почти всички следващи теореми: щом два триъгълника са еднакви, равни са и всичките им съответни елементи.

Равнобедрен триъгълник, симетрала и ъглополовяща

Равнобедрен и равностранен триъгълник. В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни. Обратно: ако два ъгъла на триъгълник са равни, той е равнобедрен. Всеки ъгъл на равностранен триъгълник е 60°.

Височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрен триъгълник. В равнобедрен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината към основата съвпадат. Обратно: ако две от тях съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Симетрала на отсечка. Всяка точка от симетралата на отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката. Обратно: всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка. Трите симетрали на триъгълник се пресичат в една точка, която е на равни разстояния от трите върха.

Ъглополовяща на ъгъл. Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл е на равни разстояния от раменете му. Обратно: всяка точка от вътрешността на ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата. Разстоянието до рамото се мери по перпендикуляра.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°. В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъла от 30° е равен на половината от хипотенузата. Обратно: ако катет е равен на половината от хипотенузата, ъгълът срещу него е 30°.

Медиана към хипотенузата. В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата. Обратно: ако медиана на триъгълник е равна на половината от страната, към която е построена, триъгълникът е правоъгълен.

Признаци за еднаквост на правоъгълни триъгълници. Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни: два катета; катет и прилежащ остър ъгъл; хипотенуза и остър ъгъл; хипотенуза и катет. Правият ъгъл вече е равен и в двата триъгълника, затова стигат два елемента, от които поне единият е страна.

Неравенства в триъгълника

Неравенства между страни и ъгли. В триъгълник срещу по-голямата страна лежи по-големият ъгъл. Обратно: срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна. Оттук в правоъгълен триъгълник хипотенузата е най-голямата страна, а перпендикулярът от точка до права е по-къс от всяка наклонена.

Неравенство на триъгълника. Всяка страна на триъгълник е по-малка от сбора на другите две страни и по-голяма от разликата им. За да се провери дали три отсечки са страни на триъгълник, е достатъчно най-голямата да е по-малка от сбора на другите две: 5, 6 и 8 са страни на триъгълник, а 3, 4 и 8 – не.

Успоредник, правоъгълник, ромб и квадрат

Свойства на успоредника. В успоредник срещуположните страни са равни, срещуположните ъгли са равни, а сборът на два ъгъла, прилежащи на една страна, е 180°. Диагоналите на успоредника се разполовяват.

Признаци за успоредник. Четириъгълник е успоредник, ако срещуположните му страни са две по две равни; или две срещуположни страни са равни и успоредни; или диагоналите му се разполовяват; или срещуположните му ъгли са две по две равни.

Правоъгълник. Диагоналите на правоъгълника са равни. Обратно: успоредник с равни диагонали е правоъгълник.

Ромб. Диагоналите на ромба са перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите му. Обратно: успоредник с перпендикулярни диагонали или с диагонал, който е ъглополовяща, е ромб.

Квадрат. Квадратът е и правоъгълник, и ромб: диагоналите му са равни, перпендикулярни и разполовяват ъглите му (по 45°). Правоъгълник с перпендикулярни диагонали и ромб с равни диагонали са квадрати.

Признак или свойство: правата и обратната теорема

Повечето теореми от 7 клас идват по двойки. Свойството започва от фигурата и казва какво е вярно за нея: „ако правите са успоредни, кръстните ъгли са равни“. Признакът започва от наблюдението и казва каква е фигурата: „ако кръстните ъгли са равни, правите са успоредни“. Двете теореми имат разменени условие и заключение: едната е права, другата – обратна.

Обратната теорема не е вярна винаги. „Ако два ъгъла са противоположни, те са равни“ е вярно, а „ако два ъгъла са равни, те са противоположни“ – не. „В правоъгълника диагоналите са равни“ е вярно, но четириъгълник с равни диагонали може да не е правоъгълник: равнобедреният трапец също има равни диагонали. Затова признакът за правоъгълник е „успоредник с равни диагонали“, а не „четириъгълник с равни диагонали“.

В задача това означава една проверка преди всяка стъпка: кое е дадено и кое трябва да се докаже. Ако в условието е дадено, че правите са успоредни, се използва свойството. Ако трябва да се докаже, че са успоредни, се използва признакът. Режимът „Упражнение“ по-горе тренира точно това: условието и заключението се подреждат в „Ако …, то …“, а разменените части дават обратната теорема.

Типичните грешки и откъде идват

Ъгълът не е между двете страни. Две страни и ъгъл не стигат за еднаквост, ако ъгълът не е между тях. При AB = 6, AC = 4 и ∠B = 30° има два различни триъгълника (последната стъпка на анимацията към първия признак ги показва). Грешката идва от това, че признакът е запомнен като „две страни и ъгъл“ без думата „между“.

Даденият ъгъл на равнобедрения триъгълник. „Равнобедрен триъгълник има ъгъл 40°“ има два отговора: ако 40° е при върха, другите два ъгъла са по 70°; ако е при основата, другите са 40° и 100°. Грешката е да се реши само първият случай, защото в повечето задачи от учебника даденият ъгъл е при върха.

Кой катет е половината от хипотенузата. Половината от хипотенузата е катетът срещу ъгъла от 30°, а не прилежащият на него. При хипотенуза 12 катетът срещу 30° е 6, а другият е около 10,4.

Свойство без дадена успоредност. При две прави, пресечени с трета, всички осем ъгъла са равни на единия от два ъгъла със сбор 180° само ако правите са успоредни. Ако в условието не пише, че са успоредни, а това не е доказано с признак, свойството не може да се използва.

Медианата към всяка страна. Медианата е половината от страната, към която е построена, само когато тази страна е хипотенуза на правоъгълен триъгълник. В равностранен триъгълник със страна 6 медианата е около 5,2, а не 3.

Проверката само на една двойка страни. Отсечки 3, 4 и 8 изглеждат като страни на триъгълник, ако се провери само 3 + 8 > 4. Проверката е с най-голямата: 3 + 4 = 7 < 8, значи триъгълник няма.

Общото при шестте грешки е едно: теоремата е запомнена като изречение, а не като причина. Който е видял защо ъгълът трябва да е между страните (иначе третата страна може да „легне“ на две места), не изпуска думата „между“. Затова теоремите не се учат наизуст, а се откриват: тогава се припомнят по-лесно, защото стъпките са вече извървени.

Къде се срещат: 7 клас, НВО и след това

Геометрията в 7 клас започва през първия срок с ъглите и успоредните прави и продължава през втория с еднаквите триъгълници, неравенствата и успоредника. На националното външно оценяване по математика в 7 клас тя присъства и в двата модула. По анализ на Заная върху първия модул трите геометрични умения (ъгли в триъгълник, равнобедрен и равностранен триъгълник, ъгли при пресичащи се и успоредни прави) са в 15 от 15 изпита от 2010 до 2025 г. За първия модул е достатъчно теоремите да са разбрани; за втория те трябва да са автоматизирани.

Третата задача от втория модул е геометрична, с пълно решение, и там автоматизираните теореми правят разликата. Ако симетралата е дадена в условието, почти всеки се сеща за нейното свойство; ако е скрита като „пресечната точка на симетралите, свързана с връх“, тя се разпознава само при утвърдено знание. Оттук могат да се спечелят и най-трудните 13 точки от изпита, но както са най-трудни за печелене, така за тях конкуренцията е най-малка. Как е устроен целият изпит е описано в статията за формата на НВО в 7 клас, а алгебричният справочник към него – в статията за формулите за съкратено умножение. Какво се е падало в геометричната задача на втория модул през 16 изпита показва анализът на втория модул (2010–2026), а теоремите са част от картата на уменията на Заная.

След 7 клас теоремите продължават да се използват: признаците за еднаквост и свойствата на успоредника стоят в основата на почти всяка задача по геометрия в следващите класове. Много теореми стъпват върху признаците за еднаквост. Дори малък пропуск може да има голям ефект.

В Заная геометрията е част от подготовката за НВО в 7 клас, присъствено в София, Варна и другите градове или онлайн. Новият материал следва програмата на класа. Персонални са преговорът и самостоятелната работа: платформата подбира задачите според пропуските на всяко дете. Програмите и цените са еднакви във всички градове и онлайн.

Как се проверява дали теоремите са усвоени

Две задачи са достатъчни, за да се види дали теоремите са разбрани или са „наполовина“.

Първата: „Две прави се пресичат и сборът на два от ъглите е 100°. Колко са четирите ъгъла?“ (50°, 130°, 50°, 130°). Отговорът показва дали съседните и противоположните ъгли са разбрани: двата ъгъла със сбор 100° не могат да са съседни, защото тогава сборът им би бил 180°.

Втората: „Докажете, че точката M, която е на равни разстояния от A и от B, лежи на симетралата на AB.“ Тук се вижда дали обратната теорема се различава от правата. Ако доказателството започва с „M лежи на симетралата, значи MA = MB“, то доказва правата теорема, а не исканата.

Ако ученикът се затруднява и с двете, стъпката назад е към ъглите при пресичащи се прави и към първия признак за еднаквост: първо се намира последното, което той владее сигурно, после се работи само върху следващото, на малки стъпки (както е описано в статията „Детето ми не разбира математика“). Ако искате да видите къде точно са пропуските: направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

Въпроси и отговори

Колко теореми по геометрия се учат в 7 клас?

В програмата за 7 клас са 23 теореми в седем теми: ъгли и успоредни прави, ъгли в триъгълник, еднакви триъгълници, правоъгълен триъгълник, неравенства в триъгълника, успоредник и видовете успоредници. Много от тях имат и обратна теорема, например свойството и признакът за успоредник.

Кои са признаците за еднаквост на триъгълници?

Три: две страни и ъгълът между тях (първи признак); една страна и двата прилежащи на нея ъгъла (втори признак); трите страни (трети признак). За правоъгълни триъгълници стигат два елемента, от които поне единият е страна, защото правият ъгъл е общ.

Каква е разликата между признак и свойство?

Свойството започва от фигурата: ако правите са успоредни, кръстните ъгли са равни. Признакът започва от наблюдението: ако кръстните ъгли са равни, правите са успоредни. Свойството се използва, когато фигурата е дадена; признакът – когато трябва да се докаже каква е.

Как се запомнят теоремите по геометрия?

Не наизуст, а с доказателството: почти всяка теорема следва от по-ранна (сборът на ъглите – от успоредните прави, равнобедреният триъгълник – от признаците за еднаквост). Теорема, която е изведена веднъж, се припомня по-лесно, защото стъпките са вече извървени. Анимациите в началото на статията показват доказателството стъпка по стъпка, а упражнението и самопроверката служат за затвърдяване.

Откъде идва всяка теорема

За по-отдадените читатели: как се доказва всяка теорема, накратко. Същите стъпки показват анимациите по-горе.

Ъгли и успоредни прави

Два съседни ъгъла заедно запълват изправения ъгъл, затова сборът им е 180°. Противоположните ъгли имат общ съседен ъгъл: α + β = 180° и β + α′ = 180°, значи α′ = α. Признаците за успоредност анимацията показва нагледно: когато ъгълът при едната права стане равен на съответния при другата, правите престават да се пресичат. Свойствата са обратните теореми и се доказват с аксиомата за успоредните прави: през точка извън права минава само една права, успоредна на нея.

Сбор на ъглите и външен ъгъл

През върха C се построява права, успоредна на AB. Кръстните ъгли при успоредни прави са равни, затова при C се появяват ъгли, равни на ∠A и на ∠B, а трите ъгъла при C образуват изправен ъгъл: 180°. Външният ъгъл е съседен на вътрешния при същия връх: δ = 180° − β, а 180° − β = α + γ.

Признаците за еднаквост

Признаците се показват с наслагване: вторият триъгълник се премества върху първия така, че равните страни да легнат една върху друга. При първия признак равният ъгъл насочва втората страна по същия лъч, а равните дължини слагат върховете в едни и същи точки. При втория двата равни ъгъла насочват двата лъча, които се пресичат в една точка. При третия върхът е пресечната точка на две окръжности с дадените радиуси, а от едната страна на отсечката такава точка има само една.

Равнобедрен триъгълник, симетрала и ъглополовяща

Медианата CM към основата на равнобедрен триъгълник го разделя на два триъгълника, еднакви по трети признак. Оттук ∠A = ∠B; ∠ACM = ∠BCM (медианата е ъглополовяща); ∠AMC = ∠BMC, а щом са съседни, всеки е 90° (медианата е височина). За точка M от симетралата на AB триъгълниците AOM и BOM са еднакви по първи признак, затова MA = MB. За точка M от ъглополовящата правоъгълните триъгълници с обща хипотенуза OM и равни ъгли при O са еднакви, затова разстоянията до раменете са равни.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° се отразява огледално спрямо по-големия катет. Получава се триъгълник с три ъгъла по 60°, т.е. равностранен, и катетът срещу 30° е половината от страната му – от хипотенузата. За медианата към хипотенузата от C се построява отсечка CM с ∠ACM = ∠A: триъгълникът AMC е равнобедрен, а ∠MCB = 90° − ∠A = ∠B прави и триъгълника MCB равнобедрен. Така MA = MC = MB и M е средата на хипотенузата. Признаците за правоъгълни триъгълници следват от общите, защото правият ъгъл е общ; случаят „хипотенуза и катет“ – чрез Питагоровото твърдение, което дава и втория катет.

Неравенства в триъгълника

Ако AC > BC, върху CA се нанася CD = CB. Триъгълникът BCD е равнобедрен, ∠CDB е външен за триъгълника ABD и затова е по-голям от ∠A, а ∠B съдържа ∠CBD = ∠CDB. Значи ∠B > ∠A. Неравенството на триъгълника се вижда с две отсечки, които се въртят около краищата на третата: краищата им се срещат само ако сборът им е по-голям от третата.

Успоредник и видовете успоредници

Диагоналът AC разделя успоредника на два триъгълника, еднакви по втори признак (кръстните ъгли при двете двойки успоредни страни са равни). Оттук срещуположните страни и ъгли са равни, а от еднаквостта на триъгълниците AOB и COD – че диагоналите се разполовяват. Признаците са обратните теореми: например при две двойки равни срещуположни страни триъгълниците ABC и CDA са еднакви по трети признак, кръстните ъгли са равни и страните са успоредни. В правоъгълника триъгълниците ABD и BAC са еднакви по първи признак, затова диагоналите са равни. В ромба триъгълниците ABO и ADO са еднакви по трети признак, затова ъглите при O са равни и съседни – по 90°. Квадратът е и двете: правоъгълник и ромб.