Формули за съкратено умножение: седемте формули, откъде идват и как се проверяват

Формулите за съкратено умножение в 7 клас са седем: квадрат на сбор, квадрат на разлика, произведение на сбор и разлика, куб на сбор, куб на разлика, сбор на кубове и разлика на кубове. Всяка от тях е резултат от умножение на скоби, записан веднъж, за да не се повтаря умножението всеки път. Формулата не е ново правило, а спестена работа: който може да умножи двете скоби, може да изведе всяка от тях сам. Анимацията към всяка формула по-горе показва откъде идва и как се проверява със собствени числа, режимът „Упражнение“ служи за запомняне, а PDF-ът е листът с формулите за 7 клас на МОН, който се дава с изпитния материал на НВО.

Формулите с числа

Формулите важат и за конкретни числа: това е най-бързата проверка дали са записани вярно.

• 31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961
• 29² = (30 − 1)² = 900 − 60 + 1 = 841
• 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200, без нищо да се повдига на квадрат
• 99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10 000 − 1 = 9999
• 11³ = (10 + 1)³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331

Тези пресмятания показват защо умножението е „съкратено“: вместо да се умножават двуцифрени числа, се събират кръгли. Показват и какво означава „тъждество“: двете страни на формулата дават едно и също число при всяка стойност на a и b. Ако при някакви числа двете страни дадат различни числа, формулата е записана грешно. Стъпката „Други числа“ във всяка анимация по-горе прави точно тази проверка.

Типичните грешки и откъде идват

Грешките при формулите за съкратено умножение са малко на брой и се повтарят.

(a + b)² = a² + b². Изпуснато е удвоеното произведение 2ab. Грешката се появява, когато формулата е запомнена като „квадратът се разпределя върху събираемите“. Проверка с числа: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13.

Знакът при (a − b)². Резултатът е a² − 2ab + b², а не a² − 2ab − b²: квадратът на отрицателно число е положителен, затова b² е с плюс и в двете формули за квадрат.

(2x)² = 2x². Степента се отнася за всеки множител в скобите: (2x)² = 2² · x² = 4x². Същото важи при (3a)³ = 27a³, а не 3a³.

Разликата на квадрати не се разпознава, когато вторият квадрат е записан като число. В x² − 25 числото 25 е 5², затова x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Същото важи за 9a² − 16 = (3a − 4)(3a + 4).

Знакът в непълния квадрат. При a³ + b³ втората скоба е a² − ab + b² (минус), при a³ − b³ е a² + ab + b² (плюс), и в двете скоби пред ab няма 2.

Общото при петте грешки е едно: формулата е запомнена наизуст, като запис, а не като умножение. Който може да умножи (x − 3)(x − 3), сам получава x² − 6x + 9 и няма как да изпусне средния член. Затова правилата не се учат наизуст, а се откриват: тогава се припомнят по-лесно, защото стъпките са вече извървени.

В обратна посока: разлагане на множители

Всяка формула се използва в двете посоки. Отляво надясно тя разкрива скоби: (x + 4)² = x² + 8x + 16. Отдясно наляво тя разлага израз на множители, а това е посоката, която се среща в повечето задачи от 7 клас нататък:

• x² − 25 = (x − 5)(x + 5): разлика на квадрати.
• 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²: квадрат на сбор. Първият и последният член са квадрати (на 2x и на 3), а средният е удвоеното им произведение: 2 · 2x · 3 = 12x.
• x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4): разлика на кубове, защото 8 = 2³.
• 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2): първо общ множител, после формула.

Последният пример показва навика, който е нужен при разлагане: след всяка стъпка се пита „може ли още?“. Отговорът 2(x² − 4) е „наполовина“: общият множител е изнесен, а разликата на квадрати в скобата не е разпозната.

Къде се срещат: 7 клас, НВО и след това

В програмата за 7 клас формулите за съкратено умножение се изучават след умножението на многочлени и преди разлагането на многочлени на множители, най-често през октомври и ноември. Във всеки изпит от националното външно оценяване по математика в 7 клас от 2010 до 2025 г. има задачи с тях (по анализ на Заная върху първия модул). Формулите се дават с изпитния материал (листът на МОН е PDF-ът в началото на статията). Затова изпитът проверява не дали формулата е запомнена, а дали се разпознава в израз, който не прилича на записа от учебника: (2x − 3)², 9a² − 16, 51² − 49². Как е устроен изпитът и къде седмокласниците губят най-много точки е описано в статията за формата на НВО в 7 клас. Формулите за съкратено умножение са едно от уменията в картата на уменията на Заная.

След 7 клас формулите продължават да се използват: в 8 клас при квадратните уравнения и рационалните изрази, по-късно при тъждествата в горните класове. Много умения стъпват върху формулите. Дори малък пропуск може да има голям ефект.

В Заная формулите са част от подготовката за НВО в 7 клас, присъствено в София, Варна и другите градове или онлайн. Новият материал следва програмата на класа. Персонални са преговорът и самостоятелната работа: платформата подбира задачите според пропуските на всяко дете. Програмите и цените са еднакви във всички градове и онлайн.

Как се проверява дали формулата е разбрана

Две задачи са достатъчни, за да се види дали формулата е усвоена или е „наполовина“.

Първата: (x − 3)² = ? Верният отговор е x² − 6x + 9. Отговор „x² + 9“ или „x² − 9“ означава, че формулата е наизустен запис, а не умножение: изпуснат е средният член. Проверката е умножението (x − 3)(x − 3). Който може да го направи, няма нужда от стъпка назад.

Втората: x² − 25 = ? Верният отговор е (x − 5)(x + 5). Ако 25 не се разпознава като 5², формулата е научена само в посоката на разкриване на скоби и трябва да се упражни в обратната.

Ако ученикът се затруднява и с умножението на скобите, стъпката назад е към умножението на многочлени и към степените от 6 клас: първо се намира последното умение, което той владее сигурно, после се работи само върху следващото, на малки стъпки (както е описано в статията „Детето ми не разбира математика“). Ако искате да видите къде точно са пропуските: направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

Въпроси и отговори

Дават ли се формулите за съкратено умножение на НВО в 7 клас?

Да, формулите се дават с изпитния материал. Изпитът проверява не дали са запомнени, а дали се разпознават в конкретния израз и дали се прилагат вярно, включително в обратната посока: разлагане на множители.

Защо (a + b)² не е a² + b²?

Защото (a + b)² означава (a + b)(a + b), а при умножението на двете скоби се появяват и произведенията ab и ba: a² + 2ab + b². Проверка с числа: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13.

Как се запомнят формулите за съкратено умножение?

Не наизуст, а с извеждане: всяка формула се получава с умножение на скобите, а квадратите и кубът на сбор имат картинка с лица и обем. Правило, което е изведено веднъж, се припомня по-лесно, защото стъпките са вече извървени. Упражнението по-горе (дясната страна се сглобява от части, а в обратна посока се търси лявата) служи за затвърдяване.

Има ли и други формули за съкратено умножение?

Да, но и те се извеждат по същия начин. Квадратът на тричлен (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca се получава, като a + b се приеме за едно събираемо. Четвъртата и по-високите степени също се получават с умножение. В 7 клас се изучават седемте формули от списъка.

Откъде идва всяка формула

За по-отдадените читатели: как се извежда всяка от седемте формули, с умножение на скобите и с картинката.

Квадрат на сбор и квадрат на разлика

Квадратът на сбор се получава с умножение на скобите: (a + b)² означава (a + b)(a + b), а всеки член на първата скоба се умножава с всеки член на втората: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Същото показва и картинката. Квадрат със страна a + b има лице (a + b)². Ако всяка страна се раздели на a и b, квадратът се разпада на четири части: квадрат със страна a (лице a²), квадрат със страна b (лице b²) и две еднакви ивици: правоъгълници със страни a и b (лице ab всяка). Сборът на четирите лица е лицето на големия квадрат: (a + b)² = a² + 2ab + b². Точно това показва картинката към формула 1 по-горе.

При квадрата на разлика се започва от квадрат със страна a и се търси лицето на по-малкия квадрат със страна a − b. От a² се махат две ивици с лице ab, но квадратът b² в ъгъла, който е и в двете ивици, е махнат два пъти, затова се връща веднъж: (a − b)² = a² − 2ab + b². Двете формули се различават само по знака пред 2ab.

Произведение на сбор и разлика

Формулата (a + b)(a − b) = a² − b² се получава от умножението на скобите: a² − ab + ab − b². Двата средни члена се унищожават и остава a² − b². Картинката към формула 3 показва същото: от квадрат с лице a² се изрязва квадрат с лице b²; останалата фигура се реже на две части, които се пренареждат в правоъгълник със страни a + b и a − b. Формулата се чете и отдясно наляво: разликата на квадрати се представя като произведение на сбор и разлика. Това е посоката, която се среща най-често в задачите.

Куб на сбор и куб на разлика

Кубът на сбор е квадратът на сбора, умножен още веднъж по (a + b): (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b). След умножението и събирането на подобните членове се получава a³ + 3a²b + 3ab² + b³. В картинката към формула 4 кубът с ръб a + b е разрязан на две плочи: долната, с дебелина a, има обем a³ + 2a²b + ab², а горната, с дебелина b – a²b + 2ab² + b³.

Кубът на разлика се извежда по същия начин от (a − b)²(a − b) и дава a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Знаците се редуват: плюс, минус, плюс, минус, а коефициентите са същите като при куба на сбор: 1, 3, 3, 1.

Сбор на кубове и разлика на кубове

Последните две формули се проверяват, като се умножи дясната им страна. При (a + b)(a² − ab + b²) се получават шест произведения: a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Четири от тях се унищожават по двойки и остава a³ + b³. Втората скоба се нарича „непълен квадрат на разликата“: прилича на (a − b)², но пред ab няма 2. По същия начин (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³, а втората скоба е „непълен квадрат на сбора“. Знаците са противоположни: при сбор на кубове първата скоба е със знак плюс, а непълният квадрат – с минус; при разлика на кубове е обратното.