10-те умения, които носят най-много точки на НВО по математика в 7 клас

15 изпита, 315 задачи, разбити по умения.

Разгледахме 15 изпита от националното външно оценяване по математика за 7 клас между 2010 и 2025 г. и свързахме всяка от 315-те задачи в първия модул с уменията, които проверява. Десет умения се появяват почти във всеки изпит и носят три четвърти от точките в първия модул, а трите задачи от втория модул стъпват върху същите умения. Ето кои са, колко често ги проверява изпитът, коя е типичната грешка при всяко и как да проверите вкъщи дали детето ви ги е усвоило.

Десетте умения в числа

Една задача може да проверява няколко умения, затова бройките не се събират до 315.

Как броихме

Данни. Изследването обхваща 15 изпита от националното външно оценяване по математика за 7 клас, проведени между 2010 и 2025 г. Източник са тестовете и ключовете с верните отговори, публикувани от МОН след всеки изпит. Изпитът от 2015 г. не е включен и ще бъде добавен при обновяване на анализа; изпитът от 2026 г. също предстои да бъде включен. Разгледан е първият модул: задачи 1–20 във всеки изпит, а през 2010 и 2011 г., когато форматът беше различен, задачи 1–28. Извадката е 315 задачи.

Метод. Всяка задача е съотнесена към уменията, които проверява, по картата на уменията на Заная. Съотнасянето е направено на ниво отделна задача, а не по тема или раздел. Една задача може да проверява повече от едно умение, затова бройките в таблицата показват в колко задачи присъства всяко умение и не се събират до 315.

Измерване. За всяко умение са преброени задачите, в които присъства, изпитите, в които се среща, и средният брой задачи на изпит. Точките са взети от колоната „брой точки“ в ключовете на МОН. Първият модул носи 65 точки на изпит (80 през 2010 и 2011 г.), общо 1005 точки за 15-те изпита. Задачите, отнесени към десетте най-често срещани умения, носят 757 от тези 1005 точки: три четвърти.

Обхват. Анализът е ограничен до първия модул, който в сегашния формат носи 65 от 100 точки и от 2026 г. се състои от 21 задачи. Вторият модул, трите задачи с пълно решение, е разгледан отделно в статията Как протича НВО по математика в 7 клас, а какво се е падало в него през 16 изпита – в анализа на втория модул на НВО 7 клас. Форматът се определя от МОН и може да се промени, както се случи миналата година.

Данните от таблицата са достъпни за сваляне: CSV файл. При използване на данните посочете източника: Заная – Математическа Академия, zanayamath.com.

Десетте умения, едно по едно

За всяко умение: колко често го проверява изпитът, какво иска изпитът, коя е типичната грешка и откъде идва, една задача за проверка вкъщи (с отговора и с това какво показва грешният отговор) и върху какво трябва да се наблегне, ако не се справи с нея.

1. Ъгли в триъгълник

В 15 от 15 изпита, средно 3,5 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: дадени са два ъгъла или зависимост между тях („∠B е с 20° по-голям от ∠C“) и се търси третият ъгъл или външен ъгъл.

Типичната грешка: почти всички знаят сигурно, че сборът е 180°; грешките са при външния ъгъл. Ученикът е запомнил правилото „външният ъгъл е равен на сбора на двата несъседни вътрешни“, но щом чертежът е обърнат или ъгълът е при друг връх, не вижда кои са „другите два“ и смята по обиколен път: при ъгли 50° и 60° първо намира третия (70°), после 180° – 70°, вместо направо 50° + 60° = 110°. При зависимост, както в примера по-горе (∠A = 50°, ∠B е с 20° по-голям от ∠C), не стига до записа x + 20 и не съставя уравнението 50 + (x + 20) + x = 180, от което ∠C = 55°.

Проверете вкъщи: „Два ъгъла на триъгълник са 48° и 67°. Колко е третият? Колко е външният ъгъл при него?“ (65° и 115°). Показателно е не дали детето стига до 115°, а как: ако каже „48 + 67“ веднага, умението е усвоено; ако първо смята 65°, а после 180° – 65°, знае правилото, но не вижда защо е вярно.

Върху какво да се наблегне: ъглите при пресичащи се и при успоредни прави (умение 5) – с тях се доказва теоремата за сбора на ъглите в триъгълник, и който ги вижда, вижда и външния ъгъл; записът на зависимост като уравнение (умение 4). Теоремата за сбора на ъглите и останалите теореми от 7 клас са събрани в теоремите по геометрия в 7 клас.

2. Равнобедрен и равностранен триъгълник

В 15 от 15 изпита, средно 3,1 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: от един ъгъл да се намерят другите два; да се разпознае равнобедрен триъгълник по две равни страни или по два равни ъгъла; свойствата на височината към основата (тя е и медиана, и ъглополовяща); в равностранния триъгълник всички ъгли са по 60°.

Типичната грешка: задачата „равнобедрен триъгълник има ъгъл 40°“ има два отговора. Ако 40° е при върха, другите два са по 70°; ако е при основата, другите са 40° и 100°. Ученикът дава само единия, защото приема, че даденият ъгъл е при върха, както е в повечето задачи от учебника, и не проверява втория случай. Втората грешка е в разпознаването: когато равнобедреният триъгълник е част от по-голяма фигура и никъде не пише „равнобедрен“, а само две отсечки са отбелязани като равни, ученикът не го вижда и не използва равните ъгли при основата.

Проверете вкъщи: „Равнобедрен триъгълник има ъгъл 40°. Колко градуса могат да бъдат другите два?“ (70° и 70° или 40° и 100°). Ако детето попита „при върха или при основата?“, умението е усвоено. Един отговор без въпрос значи, че умението е наполовина.

Върху какво да се наблегне: сборът на ъглите в триъгълник (умение 1), с който се намират другите два ъгъла и в двата случая; еднаквите триъгълници (7 клас), чрез които се доказват свойствата на равнобедрения триъгълник. Свойствата и признаците на равнобедрения триъгълник са сред теоремите по геометрия в 7 клас.

3. Формули за съкратено умножение

В 15 от 15 изпита, средно 2,6 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: да се разпознае формулата в израз, който не прилича на примера от учебника, например (2x – 3)², 9a² – 16 или 51² – 49² (без калкулатор, защото (51 – 49)(51 + 49) = 200). Формулите се дават с изпитния материал, затова изпитът проверява не паметта, а разпознаването и прилагането. Кои са формулите и как се извеждат, показваме в статията за формулите за съкратено умножение.

Типичната грешка: ученикът пише (a + b)² = a² + b² и изпуска удвоеното произведение, защото пренася върху степенуването правилото от умножението: както 2(a + b) = 2a + 2b, така и (a + b)² „= a² + b²“. При умножение с число скобата се разкрива член по член, при повдигане на квадрат – не, защото (a + b)² е (a + b)(a + b) и всеки член се умножава с всеки. Бърка и знака в (a – b)²; пише (2x)² = 2x² вместо 4x²; и най-често не вижда a² – b², когато b² е число (x² – 25 е x² – 5²). В примера по-горе това изглежда така: (2x – 3)² става „4x² – 9“ или „2x² – 9“ вместо 4x² – 12x + 9. Всичко това изчезва, когато той може сам да изведе формулата, като умножи скобите: (x – 3)² = (x – 3)(x – 3).

Проверете вкъщи: „(x – 3)² = ?“ (x² – 6x + 9) и „x² – 25 = ?“ ((x – 5)(x + 5)). Отговор „x² + 9“ или „x² – 9“ значи, че формулата е запомнена като картинка, а не като умножение. Поискайте проверка чрез умножаване на скобите: ако детето може, стъпка назад не е нужна.

Върху какво да се наблегне: умножението на многочлени (умение 6); степените и действията с едночлени (началото на 7 клас).

4. Решаване на линейни уравнения

В 15 от 15 изпита, средно 2,4 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: уравнение със скоби, с дроби или с формула, което се свежда до линейно, например „3(x – 2) – 5 = 2x + 1“. Тук изпитът проверява само техника: правилата трябва да са отработени до автоматизъм.

Типичната грешка: минусите. Ученикът пренася член, без да смени знака, или разкрива грешно скоби с минус пред тях: –2(x – 4) става –2x – 8. В примера по-горе, 3(x – 2) – 5 = 2x + 1, след разкриването на скобите се стига до 3x – 11 = 2x + 1 и пренасянето става „3x + 2x = 1 + 11“ вместо 3x – 2x = 1 + 11, откъдето x = 12. Причината е, че той държи правилата в паметта си като списък („минус пред скоба – сменям знаците“, „пренасям – сменям знака“, „деля на коефициента“), а при десет правила наведнъж не вижда цялото уравнение. Защо наизустените правила не работят, обяснихме в статията за изпита.

Проверете вкъщи: „3 – 2(x – 4) = 4 – x“ (x = 7). Ако след скобите се появи „–2x – 8“, грешката е в скобите; ако детето стигне до „11 – 2x = 4 – x“ и продължи с „–2x + x = 4 + 11“, грешката е в пренасянето. Поискайте проверка чрез заместване: при x = 7 двете страни са –3. Децата, които проверяват сами, имат навик, който струва повече от всяко правило.

Върху какво да се наблегне: действията с отрицателни числа (6 клас).

5. Ъгли при пресичащи се прави

В 15 от 15 изпита, средно 2,2 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: два вида задачи. При две пресичащи се прави: от един ъгъл да се намерят другите три, или, както често се среща, „сборът на два от ъглите е 100°, намерете четирите ъгъла“ (двата ъгъла със сбор 100° са противоположните, по 50°; другите два са по 130°). При две успоредни прави, пресечени с трета: да се намерят съответните и кръстните ъгли.

Типичната грешка при две пресичащи се прави: ученикът бърка кои двойки са равни (противоположните) и кои са със сбор 180° (съседните), защото ги е учил като имена, без да си ги представя. В примера по-горе приема, че двата ъгъла със сбор 100° са съседни, и не забелязва, че тогава сборът им би трябвало да е 180°. Типичната грешка при две успоредни прави, пресечени с трета: решава, че всички осем ъгъла са равни, защото повечето задачи в учебника изглеждат така, а не проверява кои са кръстни и съответни (равни) и кои – прилежащи (със сбор 180°); или използва свойствата на успоредните прави, без в условието да пише, че правите са успоредни.

Проверете вкъщи: „Две прави се пресичат и единият от ъглите е 35°. Колко са другите три?“ (145°, 35°, 145°). Отговор „всичките са 35°“ значи, че съседните ъгли не са разбрани. Помолете детето да означи на чертежа кои два ъгъла са равни и кои два са със сбор 180°: ако ги вижда като две двойки, умението е усвоено. За успоредните прави: „Прави a и b са успоредни и са пресечени от права c. Един от ъглите е 110°. Колко са останалите седем?“ (четири по 110° и четири по 70°).

Върху какво да се наблегне: съседните ъгли (сбор 180°) и противоположните ъгли (равни) – първите теореми в 7 клас; след тях признаците и свойствата на успоредните прави (7 клас). Формулировките им са в теоремите по геометрия в 7 клас.

6. Многочлени: нормален вид и действия

В 13 от 15 изпита, средно 2,1 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: нормален вид и степен на многочлен; събиране и изваждане (с минус пред скобата); умножение, например „(x – 2)(x + 3) е тъждествено равно на…“.

Типичната грешка: ученикът събира неподобни едночлени (2x² + 3x „= 5x³“), защото е научил думата „подобни“, но не е разбрал значението: еднаква буквена част. При изваждане на многочлен в скоби сменя знака само на първия член: (3x² + 2x) – (x² – 5x) става „3x² + 2x – x² – 5x = 2x² – 3x“ вместо 3x² + 2x – x² + 5x = 2x² + 7x. При умножение умножава само първите и последните членове: в примера по-горе (x – 2)(x + 3) става „x² – 6“ вместо x² + x – 6. Причината за трите грешки е една и съща: действията с едночлени не са автоматизирани и ученикът мисли всяко правило отделно.

Проверете вкъщи: „(2x² – x + 1) – (x² – 3x) = ?“ (x² + 2x + 1). Отговор „x² – 4x + 1“ значи, че знакът е сменен само на първия член от скобата.

Върху какво да се наблегне: степените и подобните едночлени (началото на 7 клас); събирането на отрицателни числа (6 клас).

7. Разлагане на многочлени на множители

В 15 от 15 изпита, средно 2,0 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: разлагане докрай – общ множител, после формула, понякога групиране, например x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x – 2)(x + 2). Това е обратното на умения 3 и 6.

Типичната грешка: ученикът спира след първата стъпка, без да се запита дали скобата може да се разложи още: в примера по-горе стига до x(x² – 4) и не вижда разликата на квадрати в скобата; при 2x² – 8 спира на „2(x² – 4)“. Когато общият множител е буква, както x в x³ – 4x, често изобщо не го вижда и започва направо с формулите. Причината: научил е „разлагам“ като едно действие, а не като въпрос „може ли още?“.

Проверете вкъщи: „Разложете 2x² – 8.“ (2(x – 2)(x + 2)). „2(x² – 4)“ значи, че умението е наполовина: първата стъпка е усвоена, втората – не. Попитайте „може ли още?“: ако детето тогава види разликата на квадрати, липсва само навикът; ако не, липсва умение 3.

Върху какво да се наблегне: формулите (умение 3) и умножението на многочлени (умение 6) – разлагането е обратното действие и проверката му е чрез умножаване на множителите.

8. Числена стойност на израз

В 14 от 15 изпита, средно 1,9 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: заместване и пресмятане, например „числената стойност на x² – 3x при x = –2“, често с обикновени или десетични дроби, понякога след опростяване на израза (умение 6) или с формула (умение 3).

Типичната грешка: минусът пред степента. При x = –2 ученикът смята x² като –4, защото не различава (–2)² от –2²; бърка знака при –3 · (–2) и пише –6 вместо 6; обърква реда на действията, например при 2 · 3² смята (2 · 3)² = 36 вместо 18; греши с дробите: при x = 1/2 смята x² като 1/2 вместо 1/4. Това е задачата, в която пропуските от 5 и 6 клас се виждат най-бързо, защото тя проверява само дробите (5 клас) и отрицателните числа (6 клас).

Проверете вкъщи: „Стойността на x² – 3x при x = –2“ (10). Отговор „–2“ значи грешка в –3 · (–2); „2“ значи, че (–2)² е сметнато като –4; „–10“ – и двете. Стъпката назад е една и съща.

Върху какво да се наблегне: действията с отрицателни числа (6 клас); ако и с положителни числа има грешки – редът на действията и дробите (5 клас).

9. Текстови задачи с линейни уравнения

В 14 от 15 изпита, средно 1,9 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: от текст („влак изминава разстоянието за 4 часа, автобус – за 6 часа, скоростта на влака е с 30 km/h по-голяма…“) да се състави уравнение и да се намери отговорът. Тук изпитът проверява способността за работа с модели: дали ученикът може да превърне текста в уравнение. Типовите задачи са три: „движение“, „работа“, „смеси и сплави“. В първия модул са с кратък числов отговор, във втория – с пълно решение.

Типичната грешка: ученикът пише уравнението, преди да му е ясно кое е неизвестното и какъв е чертежът. В примера по-горе означава с x скоростта на автобуса, но записва „4x = 6x + 30“, като смесва скорост с време, вместо 6x = 4(x + 30): едно и също разстояние, изминато за 6 часа от автобуса и за 4 часа от влака (x = 60 km/h, разстоянието е 360 km). Учи типовете като рецепти („при движение: път = скорост по време“), без да разбира модела, и спира при всяка непозната формулировка: през 2026 г. се появи „смеси и сплави“ и точките паднаха. Дългото условие става кратък чертеж (два пътя – две отсечки) само когато ученикът може да отдели същественото в задачата от подробностите; защо това е умение, а не техника, обяснихме в статията за изпита.

Проверете вкъщи: дайте задача за движение от учебника и поискайте само чертежа с отсечките и уравнението, а не отговора. Ако детето може да каже какво е x и да покаже на чертежа всеки член на уравнението, умението е усвоено; ако започне да смята без чертеж, работи по рецепта.

Върху какво да се наблегне: уравнението (умение 4); записването на зависимост с буква, например „с 30 km/h по-голяма“ като v + 30 (7 клас, изрази); ако грешките са в смятането – дробите (5 клас). Типовите текстови задачи са разгледани отделно: задачи от движение и задачи от работа и от смеси и сплави.

10. Решаване на линейни неравенства

В 14 от 15 изпита, средно 1,7 задачи на изпит.

Какво иска изпитът: неравенство, което се решава със същите стъпки като уравнение, с решение, записано с интервал или графично; често се пита за „най-малкото цяло число, което е решение на…“.

Типичната грешка: при умножение или деление с отрицателно число ученикът не обръща знака: от –2x > 6 дели на –2 и пише „x > –3“ вместо x < –3, защото е учил неравенството като „уравнение със знак >“ и разликата е едно добавено правило, което се забравя; бърка отворената и затворената скоба; при „най-голямото цяло решение“ на x < –3 отговаря –3, защото брои границата за решение.

Проверете вкъщи: „–2x > 6“ (x < –3). „x > –3“ значи, че знакът не е обърнат; „x < 3“ – изпуснат минус. Ако искате да видите дали интервалът е разбран, попитайте кое е най-голямото цяло число, което е решение (–4).

Върху какво да се наблегне: умение 4; сравняване на отрицателни числа (6 клас).

Какво показват числата

Три неща.

Геометрията е на върха и я има всяка година. Трите геометрични умения (1, 2 и 5) са в 15 от 15 изпита, а две от тях са на първите две места в таблицата. Геометрията обикновено се свързва с „трудната задача в края на изпита“. Тя е там, но преди това е и в първия модул, всяка година, в най-достъпния си вид. За първия модул е достатъчно ученикът да разбира основните теореми; за втория те трябва да са автоматизирани.

Уменията са едни и същи от 15 години. Форматът се променя, те – не. Броят на задачите, времето и видът на отговорите се смениха няколко пъти, а десетте умения са в таблицата всяка година. Затова има смисъл подготовката да е по умения, а не по „типа на теста“. В последните 7 изпита (2019–2025) ъглите се проверяват дори по-често (ъгли в триъгълник – 3,4 задачи на изпит, ъгли при пресичащи се прави – 2,7), а неравенствата (1,0 на изпит) и формулите за съкратено умножение (1,4) – по-рядко от средното за 15-те изпита.

Вторият модул стъпва върху същите умения. Уравнението или неравенството (умения 4 и 10), текстовата задача (умение 9) и геометрията (умения 1, 2 и 5): това са трите задачи с пълно решение. Разликата е, че там уменията трябва да са автоматизирани, а не само разбрани. Къде се губят тези 35 точки, разказахме в статията за формата на изпита.

Какво може да направите още от тази седмица

1. По една задача на умение. Десетте задачи от статията са достатъчни за първа проверка. Не гледайте само отговора, гледайте как детето стига до него. „Веднага“ и „по обиколния път“ са различни неща, дори когато отговорът е един и същ.
2. Едно умение наведнъж. По едно парче информация наведнъж. Продължава се, чак когато то е овладяно. Ако не се разбира – направете стъпката назад.
3. Стъпка назад, когато не върви. Понякога трябва да се направи една стъпка назад, за да се направят две напред. Разгледайте задачата, с която детето се затруднява, и я разглобете на умения. Намерете последното, което то решава спокойно. Работете само върху следващото, на малки стъпки, докато не бъде овладяно сигурно. При десетте умения стъпката назад най-често е към предишно умение от 7 клас, а при смятането – към дробите и отрицателните числа от 5 и 6 клас.

Така работим и ние в подготовка за НВО 7. клас: целият изпит, разбит на умения, така че виждате кое е усвоено и кое – не.

Ако искате да видите къде точно са пропуските, направете безплатния диагностичен тест. Към резултата има и следващи стъпки: как да работите върху намерените пропуски.

А ако нямате време да минете през десетте проверки сами, можем да го направим ние. Запишете детето си на 2 седмици безплатно обучение в Заная: преподавателят работи с него върху уменията от тази статия.

Въпроси и отговори

Ако детето усвои десетте умения, ще вземе ли всички точки?

Не обещаваме точки и никой не може да ги обещае. Десетте умения са тези, които изпитът проверява най-често, и носят три четвърти от точките в първия модул. Останалата четвърт е върху другите умения от програмата, а вторият модул иска същите десет, но автоматизирани. Целта на проверката вкъщи е да видите кое е усвоено и кое – не, а не да се „покрие списък“.

Кои от десетте умения са от 5 и 6 клас?

Всичките са материал от 7 клас (само разпознаването на видовете триъгълници е от 6 клас). Но всяко стъпва върху 5 и 6 клас: без дробите и отрицателните числа ученикът не може да реши уравнението и неравенството и да пресметне числената стойност. Изпитът включва материала от 5 и 6 клас и затова е важно да няма пропуски там.

Дават ли формулите на изпита?

Да, формулите се дават с изпитния материал. Проблемът не е да бъдат запомнени, а да бъдат разпознати в израз, който не прилича на примера от учебника, например (2x – 3)² или 9a² – 16. Затова проверката при умение 3 е дали детето може да изведе формулата без помощ. Седемте формули, откъде идва всяка и как се проверява с числа, са в статията за формулите за съкратено умножение.

Откъде да започнем вкъщи?

От първото умение в таблицата надолу, по една задача на умение. Ако задачата не върви, направете стъпка назад: намерете последното, което детето решава спокойно, и работете върху следващото. Диагностичният тест показва същото за целия материал: кои умения са защитени и кои – не.